Blog matematicas Unidad 2

Blog-Juan Pablo Olmos Larios 

Matematicas

Logica en la matematicas

Introducción a la Lógica Matemática: La lógica matemática es una rama de la matemática que se encarga del estudio de los principios y métodos del razonamiento válido. Se utiliza para analizar y representar argumentos matemáticos.

2. Proposiciones: Una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Ejemplos:

• "2 + 2 = 4" es una proposición verdadera.
• "El cielo es verde" es una proposición falsa.

3. Operadores Lógicos: Se utilizan para combinar proposiciones y obtener nuevas proposiciones. Los más comunes son:

• Negación (¬): Cambia el valor de verdad de una proposición. Si $P$ es verdadera, ¬P es falsa.
• Conjunción ( ∧ ): La proposición $P ∧ Q$ es verdadera solo si ambas $P$ y $Q$ son verdaderas.
• Disyunción ( ∨ ): La proposición $P ∨ Q$ es verdadera si al menos una de $P$ o $Q$ es verdadera.
• Implicación ( → ): $P → Q$ es falsa solo si $P$ es verdadera y $Q$ es falsa. En otros casos, es verdadera.
• Bicondicional ( ↔ ): $P ↔ Q$ es verdadera si $P$ y $Q$ tienen el mismo valor de verdad.

4. Tablas de Verdad: Se utilizan para mostrar todos los posibles valores de verdad de una proposición compuesta. Ayudan a determinar si una proposición es verdadera o falsa bajo diferentes condiciones.

5. Reglas de Inferencia: Son reglas que permiten derivar conclusiones válidas a partir de premisas. Ejemplos:

• Modus Ponens: Si $P → Q$ es verdadera y $P$ es verdadera, entonces $Q$ es verdadera.
• Modus Tollens: Si $P → Q$ es verdadera y $Q$ es falsa, entonces $P$ es falsa.

6. Cuantificadores: Se utilizan para expresar proposiciones sobre conjuntos. Los dos principales son:

• Cuantificador Universal ( ∀ ): "Para todo". $∀x (P(x))$ significa que $P(x)$ es verdadera para todo $x$.
• Cuantificador Existencial ( ∃ ): "Existe". $∃x (P(x))$ significa que hay al menos un $x$ para el cual $P(x)$ es verdadera.

7. Teoremas y Pruebas: En lógica matemática, se demuestra la validez de los teoremas mediante pruebas formales. Esto implica el uso de axiomas y reglas de inferencia para llegar a una conclusión.

8. Lógica de Primer Orden: Es una extensión de la lógica proposicional que incluye cuantificadores y permite razonar sobre objetos y sus relaciones.

La lógica matemática es fundamental en muchas áreas de la matemática y la informática, ya que proporciona las bases para el razonamiento riguroso y la prueba de teoremas.

Propociciones matematicas

Las proposiciones matematicas son enunciados que pueden ser verdaderos o falsos pero no ambas cosas a la vez una proposicion es una oracion o afirmacion que tiene un valor de verdad definido

Ejemplos de proposiciones matematicas

• 2 + 3 = 5 es una proposicion verdadera
• 7 es un numero impar es una proposicion verdadera
• 9 + 1 = 11 es una proposicion falsa

Las proposiciones no son necesariamente ecuaciones pueden ser afirmaciones simples o complejas pero siempre deben tener un valor de verdad claro a diferencia de preguntas ordenes o exclamaciones que no se consideran proposiciones

Los conjuntos matematicos

Los conjuntos matematicos son colecciones bien definidas de elementos u objetos que comparten una caracteristica comun cada elemento de un conjunto es unico y puede pertenecer o no al conjunto en cuestion los conjuntos son una base fundamental de la teoria de conjuntos que es una rama importante de las matematicas

Algunos conceptos clave de los conjuntos

• Conjunto un conjunto es una coleccion de objetos o elementos por ejemplo el conjunto A = 1 2 3 4 5 incluye los numeros 1 2 3 4 y 5
• Elemento cada objeto dentro de un conjunto se llama elemento si x pertenece al conjunto A se escribe como x ∈ A si no pertenece se escribe x ∉ A
• Conjunto vacio el conjunto vacio es aquel que no contiene ningun elemento se representa como ∅ o
• Subconjunto un conjunto B es subconjunto de otro conjunto A si todos los elementos de B estan en A se escribe como B ⊆ A
• Conjunto universo el conjunto universo es el conjunto que contiene todos los posibles elementos bajo consideracion se denota como U
• Union la union de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que estan en A o en B o en ambos se denota como A ∪ B
• Interseccion la interseccion de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a A como a B se denota como A ∩ B
• Diferencia la diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que estan en A pero no en B se denota como A - B
• Complemento el complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no estan en A pero si en el conjunto universo se denota como A^c

Que son los numeros reales

Los números reales se expresan con decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente se añaden tres puntos al final (324,823211247…) indicando que hay más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.

Numeros racionales e irracionales

Los números reales son todos los números que se pueden ubicar en una recta numérica, y se dividen en dos grandes grupos: los números racionales y los irracionales.

1. Números racionales: son aquellos que se pueden expresar como una fracción, es decir, el cociente entre dos números enteros. Por ejemplo, 1/2, 3, -5, y 0.25.

2. Números irracionales: son aquellos que no se pueden expresar como una fracción exacta. Su representación decimal es infinita y no periódica. Ejemplos son √2, π (pi) y e.

Palabras del autor 

me gusto mucho lo que se vio esta unidad ya que pude adentrarme en el mundo de la probabiliad matematica